Микроэкономика

Уравнение Слуцкого

- основное уравнение теории ценности.
- выявляет общий эффект влияния цены на спрос.

Задачи, следующие из сравнительной статики.

Задача 1.

Доказать, что является симметрической.
Доказательство.
Из уравнения Слуцкого:
симметрична и
Тогда
Так как и , то матрица замены симметрична.
Запишем условие симметричности матрицы замены в скалярном виде:


Задача 2.

Доказать, что матрица замены является отрицательно определённой.
Доказательство.
Необходимо доказать, что
Из основного уравнения теории потребления, подставим в нашу квадратичную форму значение матрицы замены :
Т.к. и , то
Тогда , так как отрицательно определённая, то , то есть

Знаменатель отрицательный, то есть надо доказать, что числитель положительный.
Используем свойство положительно определённых матриц:
Докажем это свойство.
Пусть положительно определённая матрица.

Где - матрица собственных векторов, представление в диагональной форме. ортогональная матрица.

Такое разбиение возможно.
Подставим в(**)

, ,
Так как из НКБ , то наш числитель , что и требовалось доказать.

Задача 3.

Доказать, что компенсированное изменение цены на ый товар всегда приводит к уменьшению спроса на этот товар.
Доказательство.
Представляет собой следствие из задачи 2 , так как все диагональные элементы отрицательно определённой матрицы всегда отрицательны.


Т.е. , следовательно, убывающая функция.

Задача 4.

Доказать, что товар Гиффина может быть только малоценным.
Доказательство.
Для товара Гиффина , , т.е. это возможно только если значит, только для малоценных товаров.

Задача 5.

Доказать, что для любого товара существует другой товар , который составляет с ним взаимозаменяемую пару.
Доказательство.
Из уравнения Слуцкого ,
Диагональные элементы отрицательны, а - положительный вектор. Чтобы было равенство нулю, нужно, чтобы при умножении матрицы на вектор какой-то элемент в сумме был положительным, т.е. хотя бы один недиагональный элемент матрицы положителен, т.е. , а это определение взаимозаменяемых товаров.

Задача 6.

Доказать, что сумма всех коэффициентов ценовой эластичности равна отрицательной эластичности по доходу.
Доказательство.
Умножим обе части уравнения Слуцкого на вектор цен.

Из Задачи 5
Осталось
Из уравнения бюджетных ограничений ,
Запишем в скалярном виде умножение й строки на

Поделим на
Где коэффициент эластичности.

Задача 7.

Условие агрегации Энгеля, основное уравнение статики.
Доказать, что все товары не могут быть малоценными одновременно, т.е.
Доказательство.
Распишем в скалярном виде :
Если все отрицательны ,то сумма не может быть равна 1 , т.к. все положительны.

Задача 8.

Условие агрегации Курно.


Доказательство.
Из уравнения Слуцкого:
Из Задачи 7:
Таким образом
Получили условие Курно ,или
Значение спроса на й товар равно отрицательной взвешенной сумме изменений значений спроса по отношению к цене го товара.

2002-2012 ©, Владимир Подладчиков
На первую страницу | На начало текста